Tugas 2 Identitas Trigonometri Sudut Rangkap

                  Rumus Sudut Rangkap

Rumus sudut rangkap dapat digunakan mencari nilai besar pada sudut trigonometri di luar sudut istimewa. Contohnya, diketahui bahwa sudut 60° adalah merupakan sudut istimewa hingga dengan mudah bisa diketahui nilainya. Bagaimanakah kalian bisamengetahui nilai sudut 120° ? Di mana kita mengetahui bahwa sudut 120°bukan sudut istimewa.?

Di sinilah fungsi rumus trigonometri sudut rangkap. Nilai 120° adalah hasil dari 2 x 60°. Sudut 120° memang bukan dari sudut istiewa, namun sudut 60° adalah sudut istimewa. Dengan memanfaatkan rumus trigonometri, besar nilai sudut 120° bsa diketahui tanpa memakai alat bantu hitung.

a. Identitas Sinus Sudut Rangkap

Rumus sudut rangkap sinus dinyatakan padrumus berikut.

sin 2 α = 2 sin α cos α

Bukti :

sin2α = sin (α+α)

sin2α = sinα cosα = cosα sinα

sin2α = sinα cosα + sinα cosα

sin2α = 2sinα cosα

Terbukti

Contoh Soal pemakaian Sudut Rangkap Sinus

Jika sin α = 3/5 dan α adalah sudut lancip, tentukan nilai sin 2 α

Pembahasan:

Sin α = 3/5

cos α = 4/5

Sehingga,

sin 2α = 2. sinα cosα

sin 2α = 2 . 3/5 . 4/5

sin 2α = 6/25

b. Identitas Kosinus Sudut Rangkap

Terdapat tiga rumus yang bisa dipakai untuk menentukan nilai suatu sudut rangkap cosinus. Ketiga rumus itu adalah

Cos 2α = cos2α – sin2α

cos 2α = 1 -2 sin2α

cos 2α = 2 sin2α – 1

Bukti :

Cos 2α = cos ( α+α )

cos 2α = cosα cosα – sinα sinα

cos 2α = cos2α – cos2α

Sebelum membuktikan kedua rumus lainnya, ingat bahwa rumus identitas trigonometri sin2α + cos2α = 1.

Cos 2α = cos2α – sin2α

cos 2α = (1-sin2α) – sin2α

cos 2α = 1 – sin2α – sin2α

cos 2α = 1 – 2sin2α

cos 2α = cos2α – sin2α

cos 2α = cos2α – (1 – cos2α)

cos 2α = cos2α – 1 + cos2α

cocs 2α = cos2α + cos2α – 1

cos 2α = 2cos2α – 1

Contoh Soal Sudut Rangkap Cosinus

Tentukan nilai fungsi cosinus untuk sudut 120° dengan menggunakan rumus pada sudut rangkap!

Pembahasan:

Cos 120°=Cos (2.60)

Cos 120°=Cos²60-Sin²60

Cos 120°=(1/2)²-(1/2√3)²

Cos 120°=(1/4)-(3/4)

Cos 120°= -2/4= -1/2

c. Identitas Tangen Sudut Rangkap

Rumus sudut rangkap sinus dinyatakan dalam rumus berikut.

tan 2 α = 2tanα / 1-tan2α

Bukti :

tan2α = tan (α + α)

tan2α = tanα + tanα / 1- tanα tanα

tan2α = 2tanα / 1-tan2α

Terbukti

Contoh Soal Sudut Rangkap Tangen

Jika diketahui nilai tan = 2/3 . Jika sudut α adalah sudut lancip maka tentukan nilai tan 2α

Pembahasan:

tan 2 α= 2 . tan α/1.tan² α

tan 2 α=2. 2/3 /1-(2/3)²

tan 2 α=4/3 / 1- 4/9

tan 2 α=4/3 / 5/9

tan 2 α=4/3 x 9/5

tan 2 α=12/5